SOAL ULANGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

RINGKASAN MATERI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK

RINGKASAN MATERI

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

HARGA MUTLAK

A.    PENGERTIAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Dari bentuk-bentuk 3(x – 1) + x   dan -x + 7, kita dapat membentuk persamaanyang merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk menyelesaikan suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan
Jika A, B, dan C merupakan bentuk-bentuk aljabar dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC, dan A/C = B/C (C ≠ 0).

Sifat-Sifat PLSV

Misalkan A = B adalah persamaan linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukan nol. Persamaan A = B ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:
1. A + C = B + C
2. A – C = B – C
3. A x C = B x C
4. A : C = B : C, C ¹ 0

Contoh 1:

Menyelesaikan PLSV dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan

Selesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7.

Pembahasan

Contoh 2: Menyelesaikan PLSV dengan Koefisien Pecahan

Tentukan selesaian dari persamaan: 1/4(n + 8) – 2 = 1/2(n – 6).

Pembahasan

TUGAS 1 LATIHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

 Kerjakan soal berikut dengan singlkat dan tepat!

1.       Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

2.       Nilai x dari persamaan  adalah …..

3.       Nilai x yang memenuhi  adalah …..

4.       Himpunan penyelesaian dari persamaan  adalah …..

5.       Nilai x yang memenuhi persamaan  adalah …..

6.       Himpunan    penyelesaian   dari    3 (5 – x)  =       24 –  4 (x + 3) adalah …..

7.       Himpunan penyelesaian dari  adalah …..

8.       Nilai x dari persamaan  adalah …..

9.       Himpunan penyelesaian dari   dengan x Î R adalah …..

10.   Himpunan penyelesaian dari  adalah …..

LATIHAN SOAL 2 PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

 Kerjakan soal berikut dengan singkat dan tepat!

1.      Garis bilangan yang menunjukkan himpunan penyelesaian dari 3x – 2  < x + 6 adalah ….

2.       Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  < 3 adalah ….

3.       Himpunan penyelesaian dari  adalah …..

4.       Tentukan himpunan penyelesaian dari            4 (x + 3) £ 8x – 7, x Î Real

5.       Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan , x Î R adalah …..

6.       Grafik penyelesaian dari  adalah …..

7.       Himpunan penyelesaian dari  adalah …..

8.       Penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah ….

9.       Himpunan penyelesaian dari  adalah …..

10.   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 (x + 3) £ 8x – 7 adalah …..

11.   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x -1 < x + 1 < 3 – x adalah …..

12.   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah …..

13.   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah …..

14.   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 (2x – 1) £ x + 7 adalah …..

15.   Himpunan penyelesaian dari  :  adalah ….

16.    Nilai x dari persamaan  adalah …..

17.    Nilai x yang memenuhi  adalah …..

18.    Himpunan penyelesaian dari persamaan  adalah …..

19.    Nilai x yang memenuhi persamaan  adalah …..

20.    Himpunan penyelesaian dari   dengan x Î R adalah …..

Uji Kompetensi 3.1

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal berikut !

1.       Nilai x dari persamaan 2x – 3 = 5 adalah ......

1. 4
2. 3
3. 2
4. – 2
5. – 4

2.       Nilai x dari persamaan 7 – 2x – 8 adalah .....

1. – 3
2. – 2
3. 1
4. 2
5. 3

3.       Nilai x dari persamaan  adalah .....

1. – 12
2. – 11
3. – 7
4. 7
5. 11

4.       Nilai x dari persamaan 3x – (x – 6) = 5(x – 3) adalah .....

1. 3
2. 6
3. 7
4. 9
5. 21

5.       Nilai x dari persamaan     adalah .....

1. 4
2. 3
3. 2
4. 1
5. – 1

6.       Penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah .....

1. x < 2
2. x < 3
3. x > 2
4. x > 3
5. x <4 o:p="">

7.       Penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah .....

1. x ≤ –3
2. x < 3
3. x > –3
4. x ≥ 3
5. x ≤ 3

8.       Penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah .....

1. x ≥ –6 
2. x > –6 
3. x ≤ 6
4. x ≤ –6 atau x ≥
5. x ≤ –6 atau x >

9.       Penyelesaian dari pertidaksamaan  adalah .....

1. x < 2
2. x > 2
3. x > –2 
4. x < –2 
5. x ≤ –2  

10.   Penyelesaian dari pertidaksamaan   adalah .....

1. x ≤ 5
2. x ≤ –5
3. x ≥ 5
4. x ≥ –5
5. x < 5

B.     PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

1.      Harga Mutlak

               Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

               Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif.

Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini

Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x ditulis │x│dan

                                                                  x , x > 0

│x│=     

                                                                            -x , x < 0

Contoh:                                   

(a)│3│ = 3

(b)│(-3)│= -(-3)= 3

(c) │ │=

(d) │0│= 0

(e) ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│= 4

(f) 13 + │-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8 = 13 + 5 - 3 - 8 = 7

2.      Persamaan dan Kesamaan

Teorema 1

Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) +R(x)    = Q(x) +R(x)      

                                                         untuk x € {x/ R(x) ≠ 0

B. P(x) .R(x)  = Q(x) .R(x) 

               

C.    

3.      Persamaan Harga Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.



Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6.

Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.

Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Jawaban:
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2
   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3 
                                       2x = 2  <==>  x = 1
   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3
                                         2x = -8  <==> x = -4
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1

Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (x + 1) + 2x = 7
                   3x = 7 - 1
                   3x = 6
                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(x + 1) + 2x = 7
        -x - 1 + 2x = 7
                      x = 7 + 1                 
                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4.  Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.

Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3

Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (3x + 4) = x - 8
        3x - x = -8 - 4
             2x =-12
               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(3x + 4) = x - 8
        -3x - 4 = x -8
         -3x - x = -8 + 4 
              -4x = -4
                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

LATIHAN  ULANGAN

Kerjakan soal berikut!

TUGAS 3A PERSAMAAN NILAI MUTLAK

1.       Nilai dari  yang memenuhi persamaan   adalah …

2.       Nilai dari  yang memenuhi persamaan   adalah …

3.       Himpunan Penyelesaian dari persamaan

4.       Semua x yang memenuhi  adalah…

5.       Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

6.       Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

7.       Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

8.       Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

9.       Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

10.    Nilai x yang memenuhi persamaan   adalah …

11.    Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

12.    Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

13.    Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

14.    Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

15.    Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

C.    PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

1.      Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh:

(a) x ≠ y

(b) x < y

(c) 2x ≥ 5

(d) x² - 5 + 6 ≤. 6

(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.

Contoh :

(1). (x - 1)² ≥  0

(2). x + 2 > x + 1

(3). -3x² - 7x - 6 < 0

(4). -(x - 1)² ≤ 0

(5).│3x–4│   > - │ -1│

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh:

(1). x² + 2 ≤ 0

(2). x + 2 ≥ x + 3

(3). (x - 2)²  < 0

(4).│2x - 3│  > -│-x│

2.      Sifat-sifat Pertidaksamaan

Teorema 4

Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut:

A. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)

B. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

                                                         untuk x € { x/R(x) > 0 }

C.                                 

D. P(x). R(x) > Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

E.                                

demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.

3.      Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, yaitu:

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka   │x│ < a

Bukti:

Untuk tiap x € R,│x│  ≥ 0.

Karena a > 0, maka -a < 0

Jadi untuk tiap x, -a <│x│  .

Sekarang kita pandang dulu untuk x > 0.

Dalam hal ini,│x│ =  x.

Karena -a < │ x │,│x│  = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).

Sekarang kita pandang untuk x < 0

Dalam hal ini │ x│= -x.

Karena -a <  │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.

Kalikan dengan (-1), diperoleh

 a > x > -a atau -a < x < a (terbukti).

Teorema 6

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.

Buktinya:

Misalnya │x│> a → x > a dan – a > x

-a > x ↔ x  > a. Jadi kita mempunyai – a > x > a. Sebaliknya jika – a > x > a maka x > a dan - x > a. Sehingga │x│> a

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.

Penyelesaian :

Menurut teorema 5,

│ x + 1│< 3.

Jika dan hanya jika

-3 < x + 1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } ∩ {  x / x < 2 }.

Teorema 7

 Untuk setiap R, x ≤ │x│.

Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)

Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0

Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ .

Teorema 8

Jika x  R, y  R, maka

(1). │x - y│≥│x│-│y│

(2). │x +y│≤ │x│+│y│

LATIHAN SOAL 4 PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

 Kerjakan soal berikut!

1.       Tentukan himpunan penyelesaian dari  !

2.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

3.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

4.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

5.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan  !

6.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

7.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

8.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

9.       Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

10.    Tentukan nilai x yang  pertidaksamaan   !

11.    Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a.       

b.      

c.       

d.      

e.      

RANGKUMAN

Diketahui, sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan  harga nilai mutlak:

1.      Persamaan Nilai Mutlak :

(a)   │xy│=│x│.│y│

│xy│ = √(xy)²

= √x².y²

= √x² . √y²

=│x│.│y│ ( Terbukti )

Atau

│x│.│y│   = √x² . √y²

                   = √x².y²

= √(xy)²

=│xy│( Terbukti )

(b)    =

=

=

= =  ( Terbukti )

Atau

  =

=

==  ( Terbukti)

2.      Pertidaksamaan Nilai Mutlak :

(a). │x - y│≤│x│+│y│

Menurut teorema 7 diatas

x ≤ |x| dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x

            juga -y ≤ |-y| = |y| dan y  ≤ |y|

Dengan menjumlahkan didapat :

x – y  ≤ |x| + |y| dan

(-x+y) = - (x – y ) ≤ |x| + |y|

dan menurut teorema 8 bagian 1

│x – y│≤│x│+│y│ (Terbukti)                       

(b). │x +y│ ≤ │x│+│y│

| x + y | = | x - (-y)| < | x | + | y |

Menurut teorema 2(a) : | y | = | -y |, maka | x + y | < | x | + | y |  (Terbukti)

(c). │|x| - |y|│≤│x - y│

Tulis x = (x – y) + y maka, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga akan dapat :

│x│ = │(x – y) + y│≤│x - y│+│y│. Jadi │x│-│y│≤│x - y│.

 Kemudian dari

│y│=│y – x + x│≤│y – x│+│x│.      Jadi -│x – y│= -│y – x│≤│x│-│y│.

Dari kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan dibuktikan.

            Yakni: karena │x│-│y│≤│x - y│dan  -│y – x│≤│x│-│y│maka │|x| - |y|│≤│x - y│ .