RINGKASAN
MATERI
PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN
HARGA
MUTLAK
A. PENGERTIAN
PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Persamaan adalah
suatu pernyataan matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal
adalah persis sama. Dari bentuk-bentuk 3(x – 1) + x dan -x + 7, kita dapat membentuk
persamaan
yang
merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk menyelesaikan
suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian
sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri
sama dengan ruas kanan.
Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan
Jika A, B, dan C merupakan bentuk-bentuk aljabar
dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC, dan A/C = B/C (C ≠ 0).
Sifat-Sifat PLSV
Misalkan A = B adalah persamaan
linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukan nol. Persamaan A = B
ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:
1. A + C = B + C
2. A – C = B – C
3. A x C = B x C
4. A : C = B : C, C ¹ 0
Contoh 1:
Menyelesaikan PLSV
dengan Menggunakan Sifat-sifat Persamaan
Selesaikan persamaan
3(x – 1) + x = –x + 7.
Pembahasan
Contoh
2: Menyelesaikan PLSV dengan Koefisien Pecahan
Tentukan
selesaian dari persamaan: 1/4(n + 8) – 2 = 1/2(n – 6).
Pembahasan
TUGAS 1 LATIHAN SOAL PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Kerjakan soal berikut dengan singlkat
dan tepat!
1.
Tentukan nilai
x yang memenuhi persamaan
2.
Nilai
x
dari persamaan
adalah …..
3.
Nilai x yang memenuhi
adalah …..
4.
Himpunan penyelesaian dari persamaan
adalah …..
5.
Nilai
x
yang memenuhi persamaan
adalah …..
6.
Himpunan
penyelesaian dari 3 (5 – x) =
24 – 4 (x + 3) adalah …..
7.
Himpunan penyelesaian dari
adalah …..
8.
Nilai
x
dari persamaan
adalah …..
9.
Himpunan
penyelesaian dari 
dengan
x
Î R adalah …..
10.
Himpunan penyelesaian dari
adalah …..
LATIHAN SOAL 2
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Kerjakan soal
berikut dengan singkat dan tepat!
1.
Garis bilangan yang menunjukkan himpunan
penyelesaian dari 3x – 2 < x + 6
adalah ….
2.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
< 3 adalah
….
3.
Himpunan penyelesaian dari
adalah …..
4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 (x + 3) £ 8x – 7, x Î Real
5.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
, x
Î
R adalah …..
6.
Grafik penyelesaian dari
adalah …..
7.
Himpunan penyelesaian dari
adalah …..
8.
Penyelesaian dari pertidaksamaan
adalah ….
9.
Himpunan penyelesaian dari
adalah …..
10.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 (x +
3) £ 8x – 7 adalah …..
11.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x -1
< x + 1 < 3 – x adalah …..
12.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
adalah …..
13.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
adalah …..
14.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 (2x
– 1) £ x + 7 adalah …..
15.
Himpunan
penyelesaian dari :
adalah ….
16.
Nilai x dari persamaan 
adalah …..
17.
Nilai x yang
memenuhi 
adalah …..
18.
Himpunan
penyelesaian dari persamaan 
adalah …..
19.
Nilai x yang memenuhi persamaan 
adalah …..
20.
Himpunan penyelesaian dari 
dengan x Î R
adalah …..
Uji Kompetensi 3.1
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal berikut !
1.
Nilai
x dari persamaan 2x – 3 = 5 adalah ......
- 4
- 3
- 2
- – 2
- – 4
2.
Nilai
x dari persamaan 7 – 2x – 8 adalah .....
- – 3
- – 2
- 1
- 2
- 3
3.
Nilai
x dari persamaan 
adalah .....
- – 12
- – 11
- – 7
- 7
- 11
4.
Nilai
x dari persamaan 3x – (x
– 6) = 5(x – 3) adalah .....
- 3
- 6
- 7
- 9
- 21
5.
Nilai
x dari persamaan 
adalah .....
- 4
- 3
- 2
- 1
- – 1
6.
Penyelesaian
dari pertidaksamaan 
adalah .....
- x < 2
- x < 3
- x > 2
- x > 3
- x <4 o:p="">
7.
Penyelesaian
dari pertidaksamaan 
adalah .....
- x ≤ –3
- x < 3
- x > –3
- x ≥ 3
- x ≤ 3
8.
Penyelesaian
dari pertidaksamaan 
adalah .....
- x ≥ –6
- x > –6
- x ≤ 6
- x ≤ –6 atau x ≥
- x ≤ –6 atau x >
9.
Penyelesaian
dari pertidaksamaan 
adalah .....
- x < 2
- x > 2
- x > –2
- x < –2
- x ≤ –2
10.
Penyelesaian
dari pertidaksamaan adalah .....
- x ≤ 5
- x ≤ –5
- x ≥ 5
- x ≥ –5
- x < 5
B. PERSAMAAN
DENGAN HARGA MUTLAK
1.
Harga Mutlak
Dalam
kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan
dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan
kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran
jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya
selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak
pernah negatif.
Secara
khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif
diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak.
Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang
menyatakan selalu positif.
Secara matematis
pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol
│x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita
akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya
dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan
penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini
Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x
ditulis │x│dan
x
, x > 0
│x│=
-x
, x < 0
Contoh:
(a)│3│ = 3
(b)│(-3)│= -(-3)=
3
(c) │
│=
(d) │0│= 0
(e) ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│= 4
(f) 13 +
│-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8 = 13 + 5 - 3 - 8 = 7
2. Persamaan
dan Kesamaan
Teorema 1
Jika P(x), Q(x), dan
R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x),
Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan
tiap-tiap dari yang berikut :
A. P(x) +R(x) = Q(x) +R(x)
untuk
x €
{x/ R(x) ≠ 0
B. P(x) .R(x) = Q(x)
.R(x)
C. 
3. Persamaan
Harga Mutlak
Nilai
mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik
nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.
Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa
nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu
bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan
garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak
dapat dimaknai seperti berikut.
Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk
aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.
Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk
membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh
berikut.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
nilai Mutlak di bawah ini.
Jawaban:
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) x + 5 = 3 , maka x
= 3 - 5 = -2
(**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 =
-8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{-2, -8}
2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka
2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 ,
maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian
persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x
< -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk
x >=-1
Persamaan mutlak dapat
ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi,
karena batasan >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan mutlak dapat
ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x =
7
x = 7 + 1
x = 8 (tidak
terpenuhi, karena batasan < -1)
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.
4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4.
Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x
< -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk
x >=-4/3
Persamaan mutlak dapat
ditulis:
(3x + 4) = x - 8
3x - x =
-8 - 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena
batasan >= -4/3)
(**) untuk
x < -4/3
Persamaan mutlak dapat
ditulis:
-(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8
-3x - x = -8
+ 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena
batasan < -4/3)
Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
LATIHAN ULANGAN
Kerjakan soal berikut!
TUGAS 3A PERSAMAAN NILAI MUTLAK
1.
Nilai dari
yang memenuhi
persamaan adalah …
2. Nilai
dari
yang memenuhi
persamaan adalah …
3. Himpunan Penyelesaian dari persamaan 
4. Semua
x yang memenuhi
adalah…
5. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
6. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
7. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
8. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
9. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
10. Nilai
x yang memenuhi persamaan
adalah …
11. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
!
12. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
!
13. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
!
14. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
!
15. Tentukan himpunan penyelesaian dari 
!
C.
PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK
1.
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤.
Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah
pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.
Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya
disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh:
(a) x ≠ y
(b) x < y
(c) 2x ≥ 5
(d) x2
- 5 + 6 ≤. 6
(e) │1 – x│>
2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).
Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak
berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi
pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang
menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.
Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau
pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap
nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut
ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika
tertutup.
Contoh :
(1). (x - 1)2
≥ 0
(2). x + 2 > x
+ 1
(3). -3x2
- 7x - 6 < 0
(4). -(x - 1)2
≤ 0
(5).│3x–4│ > - │ -1│
Selain itu ada
pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya
yang disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh:
(1). x2
+ 2 ≤ 0
(2). x + 2 ≥ x +
3
(3). (x - 2)2 < 0
(4).│2x - 3│ > -│-x│
2.
Sifat-sifat Pertidaksamaan
Teorema
4
Jika P(x), Q(x),
dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x,
P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen
dengan tiap-tiap dari yang berikut:
A. P(x) + R(x)
< Q(x) + R(x)
B. P(x) . R(x) < Q(x)
. R(x)
untuk
x € { x/R(x) > 0 }
C.
D. P(x). R(x) > Q(x) .
R(x)
untuk x € { x/R(x) > 0 }
E.
demikian pula
untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat
terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan
≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0
seperti di atas.
3.
Pertidaksamaan Harga Mutlak
Teorema 5
Jika x €
R, a €
R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.
Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua
bagian, yaitu:
(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.
(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a
Bukti:
Untuk tiap x €
R,│x│ ≥ 0.
Karena a > 0, maka -a < 0
Jadi untuk tiap x, -a <│x│ .
Sekarang kita pandang dulu untuk x > 0.
Dalam hal ini,│x│ = x.
Karena
-a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a,
maka -a < x < a (terbukti).
Sekarang kita pandang untuk x < 0
Dalam hal ini │ x│= -x.
Karena -a <
│x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.
Kalikan dengan (-1), diperoleh
a > x > -a atau -a < x < a
(terbukti).
Teorema 6
Jika x €
R, a €
R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.
Buktinya:
Misalnya │x│>
a → x > a dan – a > x
-a > x ↔ x > a. Jadi kita mempunyai – a > x > a. Sebaliknya jika – a > x > a maka x > a dan - x > a. Sehingga │x│> a
Contoh:
Carilah himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.
Penyelesaian :
Menurut teorema 5,
│ x + 1│< 3.
Jika dan hanya jika
-3 < x + 1 < 3
Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x <
2
Jadi himpunan penyelesaiannya
{ x / -4 < x < 2 }
Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan
menggunakan simbul irisan :
{ x / x > -4 }
∩ { x / x < 2 }.
Teorema 7
Untuk setiap
R, x ≤ │x│.
Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)
Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0
Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ .
Teorema 8
Jika x R, y R, maka
(1). │x - y│≥│x│-│y│
(2). │x +y│≤
│x│+│y│
LATIHAN SOAL 4 PERTIDAKSAMAAN
NILAI MUTLAK
Kerjakan soal
berikut!
1.
Tentukan
himpunan penyelesaian dari 
!
2. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
3. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
4. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
5. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
6. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
7. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
8. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
9. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan 
!
10. Tentukan nilai x yang pertidaksamaan !
11. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a.
b. 
c.
d. 
e. 
RANGKUMAN
Diketahui,
sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan
harga nilai mutlak:
1.
Persamaan
Nilai Mutlak :
(a)
│xy│=│x│.│y│
│xy│ =
√(xy)2
=
√x2.y2
=
√x2 . √y2
=│x│.│y│
( Terbukti )
Atau
│x│.│y│ = √x2 . √y2
= √x2.y2
=
√(xy)2
=│xy│(
Terbukti )
2.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak :
(a). │x - y│≤│x│+│y│
Menurut teorema 7 diatas
x ≤ |x| dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x
juga
-y ≤ |-y| = |y| dan y ≤ |y|
Dengan menjumlahkan didapat :
x – y ≤ |x| + |y| dan
(-x+y) = - (x – y ) ≤ |x| + |y|
dan menurut teorema 8 bagian 1
│x – y│≤│x│+│y│
(Terbukti)
(b). │x +y│ ≤ │x│+│y│
| x + y | = | x - (-y)| < | x |
+ | y |
Menurut teorema 2(a) : | y | = | -y |,
maka | x + y | < | x | + | y | (Terbukti)
(c). │|x| - |y|│≤│x -
y│
Tulis x = (x – y) + y maka, dengan
menggunakan ketaksamaan segitiga akan dapat :
│x│
= │(x – y) + y│≤│x - y│+│y│. Jadi
│x│-│y│≤│x - y│.
Kemudian dari
│y│=│y –
x + x│≤│y – x│+│x│. Jadi -│x – y│= -│y – x│≤│x│-│y│.
Dari
kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan dibuktikan.
Yakni: karena │x│-│y│≤│x - y│dan -│y – x│≤│x│-│y│maka │|x|
- |y|│≤│x - y│ .
